В соответствии с определением, математическая теория игр является теорией математических моделей принятия оптималь­ных решений в условиях конфликта (а также в условиях неопре­деленности). Поэтому вопросы, связанные с оптимальным пове­дением сторон в конфликтах, с желательными исходами кон­фликтов, являются в ней основными. Непосредственных вопросов такого рода три:

1) Какими принципами оптимальности следует руководствоваться при рассмотрении конфликтов того или иного типа? Иначе говоря, в чем состоит (оптимальное) решение того или иного конфликта?

2) Реализуем ли применительно к данному классу конфлик­тов выбранный для него принцип оптимальности? Формально этот вопрос сводится к существованию у конфликтов из задан­ного класса тех решений, которые выбранным принципом ква­лифицируются как оптимальные.

3) В чем состоит применение выбранного принципа опти­мальности к данному конфликту (или к данному классу кон­фликтов)? Ответом на этот вопрос должно служить нахождение решения конфликта в том же смысле слова, в каком принято говорить о нахождении решения применительно к любой мате­матической задаче.

К сожалению, понятие оптимальности принимаемого реше­ния значительно труднее поддается формализации, чем понятия конфликта и принятия решения. Эта задача и до сих пор — одна из самых важных в теории игр.

Так как математическая теория игр — теория моделей приня­тия решений, она не занимается этими решениями как психо­логическими или волевыми актами; не занимается она и вопро­сами их фактической реализации.

В рамках теории игр, принимаемые решения выступают как достаточно упрощенные и идеализированные схемы реальных явлений. При этом, разумеется, степень этого упрощения не должна превосходить известных пределов, за которыми модель уже утрачивает существенные черты явления.

То, что теория игр есть теория математических моделей,  и она является разделом математики, означает, что конструируе­мые в ней модели являются формальными, знаковыми (а не, ска­жем, макетными или аналоговыми) и их формирование и сред­ства анализа также формальны.

В частности, формально же должны вводиться и основные понятия.

Практически это означает, что эти понятия должны зада­ваться своими свойствами, которым тем самым придается смысл аксиом. Дальнейшее образование понятий и установление свойств может вестись уже без того, чтобы прибегать к каким-либо «интуитивным» соображениям. Сказанное отнюдь не оспаривает  практической  целесообразности   использования   интуиции, особенно как способа практической проверки формально полученных результатов.

В соответствии со сказанным при построении теории с самого начала необходимо формализовать те понятия, которые входят в  ее определение: 1) конфликт, 2) принятие решения и 3) оптимальность решения.

Конфликт и его  формальная модель

Принимающие участие в конфликте стороны элементы некоторого абстрактного мно­жества.   Часто   оказывается   целесообразным считать их подмножествами некоторого универсального множе­ства; элементы последнего принято называть игроками, а под­множества игроков, которые являются действующими сторона­ми в конфликте, — коалициями действия (различные коалиции действия могут пересекаться и даже содержаться одна в другой). Множество всех коалиций действия в конфликте далее будет обозначаться через ?_d.  

Каждая из коалиций действия К принимает некоторое реше­ние из некоторого множества s_k доступных для нее решений. Элементы множества s_k называются стратегиями коалиции К.

Выбор каждой из коалиций действия некоторой стратегии оп­ределяет то, что называется исходом конфликта. При этом не обя­зательно, чтобы этот исход понимался как однозначно определен­ное детерминированное явление. Допустимо, чтобы тот или иной из этих исходов был множеством физических явлений или же слу­чайным явлением, т.е. множеством явлений с вероятностной ме­рой на нем. Кроме того, некоторые комбинации выбранных коа­лициями действия стратегий могут оказаться несовместимыми и потому неосуществимыми. В этом случае принято считать, что конфликт не состоялся. (В применении к играм (конфликты) это может выражаться в появлении некоторой помехи, прервавшей иг­ру (конфликты) без возможности ее продолжения).

Все исходы конфликта называются ситуациями.  Из сказан­ного выше следует, что ситуации составляют некоторое множе­ство S, являющееся подмножеством множества всех комбинаций стратегий коалиций действия, т.е. декартова произведения мно­жеств стратегий.

S ? P S_К                    

K ? ?_d.

         По поводу заинтересованных в исходах конфликта сторон можно повторить почти все, сказанное в связи с коалициями действия. Их называют коалициями интересов, и они считают­ся элементами некоторого абстрактного множества, которое далее будет обозначаться через ?_и. Коалиции интересов суть подмножества того же множества игроков, что и коалиции действия.

В теории игр множества коалиций действия и множества коалиций интересов рассматриваются как различные. Легко ви­деть, что в реальных конфликтах могут встречаться коалиции действия, не являющиеся коалициями интересов, и наоборот.

Рассмотрим, наконец, форму выражения заинтересованности для коалиций интересов. Эта заинтересованность проявляется в том, что каждая из этих коалиций предпочитает одни исходы конфликта другим.

Это описывается в виде некоторого отношения предпочте­ния — абстрактного бинарного отношения ?_к на множестве всех ситуаций. Тот факт, что коалиция интересов К предпочитает си­туацию х ситуации у, обозначается как х ?_к  у.

Вообще говоря, никаких свойств у отношения ?_к не предпо­лагается, хотя обычно оно считается транзитивным 

(т.е. из х ?_к  у  и  у?_к Z следует х ?_к Z).

В частности, не требуется, чтобы отношение было линей­ным, т.е. чтобы любые две ситуации были сравнимы друг с другом (в формальной записи для любых двух различных ситуа­ций х и у либо х ?_к  у,  либо  у ?_к х).

 Нередко отношение предпочтения задается следующим образом. На множестве ситуаций S определяется функция H_к, принимающая вещественные значения и называемая функцией выиг­рыша коалиции интересов К. Ее значение Н_к (х) понимается как выигрыш, который коалиция К получает в ситуации х. Естест­венно принять, что х ?_к  у, если   Н_к (х) > Н_к (у).  

Итак, конфликтом (или игрой) называется система

Г= <?_d. ? S_к ? к ??_d,  S,  ?_и , { ? _к } к ??_и >

где перечисленные в ломаных скобках множества и отноше­ния связаны друг с другом, как это было описано выше. Мате­матическая теория игр занимается изучением конфликтов (игр) именно в этом понимании.

Смешанная стратегия игрока есть вероятностное распределение на множестве его чистых стратегий.

Ситуация равновесия

Пусть дан конфликт (игра) Г. Говорят, что ситуация (т.е. n-набор стратегий) (s_i*, s₂**,…, s_n *) равновесна, или что она является ситуацией равновесия, если для любого i = 1, …, п и для любого s₁? S_i имеет место неравенство

Другими словами, ситуация равновесна, если ни один игрок не имеет никаких разумных оснований для изменения своей стратегии при условии, что все остальные игроки собираются придерживаться своих стратегий. В этом случае, если каждый иг­рок знает, как будут играть остальные, он имеет основание при­держиваться той стратегии, которая соответствует этой ситуации равновесия; тем самым игра становится весьма устойчивой.

Не все игры имеют ситуацию равновесия. Например, игра в орлянку такой ситуации не имеет.

Если конфликт не имеет ситуаций равновесия, то обычно некоторые игроки пытаются отгадать стратегии остальных уча­стников, сохраняя собственные стратегии в тайне. Что постоян­но приводит к нестабильности в развитии взаимодействия. Это наводит на мысль (и это действительно верно), что в конфлик­тах с полной информацией ситуации равновесия существуют.